[2016년 대화고]

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[2학년 1학기 기말 미적분1]

함수 [eqn: f(x)=3x ^{4} +8x ^{3} +6x ^{2} +1]의 [eqn: x=-1]에서의 미분계수의 값은? [3.3점]

①

① [eqn: 0]	② [eqn: 1]	③ [eqn: 2]

④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 4]

함수 [eqn: f(x)= cases{-x^2 &(x leb)#ax+1&(x>b)]가 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 미분가능하도록 상수 [eqn: a], [eqn: b]의 값을 정할 때, [eqn: a+b]의 값은? (단, [eqn: b>0]) [4.2점]

⑤

① [eqn: -5]	② [eqn: -4]	③ [eqn: -3]

④ [eqn: -2]	⑤ [eqn: -1]

다항함수 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: lim_x->1 {f(x)-3}over{x^3 -1}=3]가 성립한다. 함수 [eqn: g(x)]를 [eqn: g(x)=x^3 cdot f(x)]라 할 때, [eqn: x=1]에서의 미분계수 [eqn: g'(1)]의 값은? [4.2점]

②

① [eqn: 17]	② [eqn: 18]	③ [eqn: 19]

④ [eqn: 20]	⑤ [eqn: 21]

수직선 위를 움직이는 두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]의 시각 [eqn: t]일 때의 위치가 각각 [eqn: {rmP}(t)= {1} over {3} t ^{3} +9t+4], [eqn: {rmQ}(t)=3t ^{2} -7]이다. 두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]의 속도가 같아지는 순간 두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ] 사이의 거리의 값은? [4.2점]

③

① [eqn: 0]	② [eqn: 10]	③ [eqn: 20]

④ [eqn: 30]	⑤ [eqn: 40]

옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? [4.2점]

③

ㄱ. 함수 [eqn: y=f(x)]에 대하여 극한값
[eqn: lim_h->0 {f(1+h)-f(1)}overh]이 존재할 때,
등식 [eqn: lim_x->1 f(x)=f(1)]이 성립한다.

ㄴ. 함수 [eqn: y=f(x)]에 대하여 극한값
[eqn: lim_h->0 {f(1+h)-f(1)}overh]이 존재할 때,
극한값 [eqn: lim_h->0 {f(1+h)-f(1-h)}overh]가 존재한다.

ㄷ. 함수 [eqn: y=f(x)]에 대하여 극한값
[eqn: lim_h->0 {f(1+h)-f(1-h)}overh]이
존재하면 [eqn: lim_h->0 {f(1+h)-f(1)}overh]도 존재한다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 삼차함수 [eqn: f(x)]가 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(-x)=-f(x)]를 만족시킨다. 방정식 [eqn: |f(x)|=2]의 서로 다른 실근의 개수가 [eqn: 4]일 때, [eqn: f(2)]의 값은? [4.8점]

②

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

함수 [eqn: f(x)= cases{2a(3x-x^3 )&(x<0)#x^3 -ax&(x ge0)]의 극댓값이 [eqn: 4]일 때, [eqn: f(2)]의 값은? (단, [eqn: a]는 상수이다.) [4.8점]

④

① [eqn: 1]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 7]

④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 13]

최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 삼차함수 [eqn: f(x)]가 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: f(x)]의 극댓값은? [4.8점]

⑤

(가) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f` prime (x)=f` prime (-x)]이다.

(나) 함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=1]에서 극솟값 [eqn: 2]를 갖는다.

① [eqn: -2]	② [eqn: 0]	③ [eqn: 2]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 6]

그림과 같이 밑면의 반지름의 길이가 [eqn: a], 높이가 [eqn: h]인 직원뿔에 내접하는 원기둥의 부피가 최대일 때, 원기둥의 밑면의 반지름의 길이를 [eqn: r]라 하자. 이때, 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? [5.3점]

③

ㄱ. [eqn: r overa]의 값은 일정하다.

ㄴ. [eqn: h]가 일정할 때, [eqn: a]가 커지면 [eqn: r]의 값도 커진다.

ㄷ. [eqn: a]가 일정할 때, [eqn: h]가 커지면 [eqn: r]의 값도 커진다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

서로 다른 두 실수 [eqn: alpha], [eqn: beta]가 사차방정식 [eqn: f(x)=0]의 근일 때, 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? [5.3점]

⑤

ㄱ. [eqn: f`'(alpha)=0]이면 다항식 [eqn: f(x)]는 [eqn: (x- alpha)^2]으로
나누어 떨어진다.

ㄴ. [eqn: f` prime ( alpha )f` prime ( beta )=0]이면 방정식 [eqn: f(x)=0]은 허근을
갖는다.

ㄷ. [eqn: f` prime ( alpha )f` prime ( beta )>0]이면 방정식 [eqn: f(x)=0]은 서로 다른
네 실근을 갖는다.

① ㄴ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

함수 [eqn: f(x)]의 도함수가 [eqn: f` prime (x)=(x ^{2} +x+1)(x-1)]이고
[eqn: f(1)= 1over4]일 때, [eqn: f(2)]의 값은? [3.7점]

④

① [eqn: 1over16]	② [eqn: 1over2]	③ [eqn: 2]

④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 4]

정적분 [eqn: int_-1 ^1 (x+1)^3 dx-int_-1 ^1 (x-1)^3 dx]의 값은? [3.7점]

⑤

① [eqn: 0]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 4]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 8]

정적분 [eqn: int_0 ^2 |x-1 |^3 dx]의 값은? [4.2점]

③

① [eqn: 1over6]	② [eqn: 1over3]	③ [eqn: 1over2]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 4over3]

극한값 [eqn: lim_n->inf {(1^6 +2^6 +3^6 + cdots+n^6 )}over{n^2 (1^4 + 2^4 + 3^4 +cdots+n^4 )]의 값은? [5.0점]

②

① [eqn: 3over5]	② [eqn: 5over7]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 7over5]	⑤ [eqn: 5over3]

곡선 [eqn: y=x^3 -x^2 -2x]과 [eqn: x]축으로 둘러싸인 부분의 넓이가 [eqn: q overp]일 때, [eqn: p+q]의 값은? (단, [eqn: p], [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.) [4.2점]

①

① [eqn: 49]	② [eqn: 51]	③ [eqn: 53]

④ [eqn: 55]	⑤ [eqn: 57]

곡선 [eqn: y=x^2 +ax-5]과 [eqn: x]축으로 둘러싸인 부분의 넓이가 [eqn: 36]일 때, 양수 [eqn: a]의 값은? [4.2점]

③

① [eqn: 2]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 4]

④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 6]

함수 [eqn: f(x)=-x^2 +x+2]에 대하여 그림과 같이 곡선 [eqn: y=f(x)]와 [eqn: x]축으로 둘러싸인 부분을 [eqn: y]축과 직선 [eqn: x=k]([eqn: 0<k<2])로 나눈 세 부분의 넓이를 각각 [eqn: RMS_1], [eqn: RMS_2], [eqn: RMS_3]이라 하자.
[eqn: rmS_1 : S_2 : S_3 =7:13:7]일 때, [eqn: k]의 값은? [4.8점]

④

① [eqn: 2over3]	② [eqn: 3over4]	③ [eqn: 4over5]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 4over3]

삼차함수 [eqn: f(x)=x^3 -3x+ a over2]에 대하여 함수 [eqn: F(x)=int_0 ^x f(t)dt]가 극댓값을 갖도록 하는 정수 [eqn: a]의 개수는? [4.8점]

⑤

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

수직선 위에서 좌표가 [eqn: {3} over {2}]인 점을 출발하여 움직이는 점 [eqn: RMP]의 시각 [eqn: t]일 때의 속도는 [eqn: v(t)=t^2 -4t+3]이다. 점 [eqn: RMP]가 원점과 가장 가까이 있을 때, 점 [eqn: RMP]의 좌표는? [5.0점]

①

① [eqn: 3over2]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 7over3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 25over6]

삼차함수 [eqn: f(x)=x^3 -3x-1]이 있다. 실수 [eqn: t(t ge-1)]에 대하여 [eqn: -1 le x le t]에서 [eqn: |f(x)|]의 최댓값을 [eqn: g(t)]라고 할 때, 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? [5.3점]

④

ㄱ. [eqn: a>-1]에 대하여 [eqn: int_-1 ^a g(t)dt > int_-1 ^a |f(t) | dt]이다.

ㄴ. 구간 [eqn: (-1,``` INF )]에서 함수 [eqn: g(t)]는 오직 한 점에서만
미분가능하지 않다.

ㄷ. 정적분 [eqn: int_-1 ^1 g(t)dt`]의 값은 [eqn: 13over4]이다.

① ㄴ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

서술형

좌표평면 위에 점 [eqn: rmA(0,```2)]가 있다. [eqn: 0<t<2]일 때, 원점 [eqn: RMO]와 직선 [eqn: y=2] 위의 점 [eqn: {RMP}(t,```2)]를 잇는 선분 [eqn: RMOP]의 수직이등분선과 [eqn: y]축의 교점을 [eqn: RMB]라 하자. 삼각형 [eqn: RMABP]의 넓이를 [eqn: f(t)]라 할 때, [eqn: f(t)]의 최댓값을 구하고 그 과정을 서술하시오. (단, [eqn: a], [eqn: b]는 서로소인 자연수이다.) [5.0점]

[eqn: {13 sqrt {3}} over {32}]

다음은 함수 [eqn: f(t)]가 구간 [eqn: [a,```b]]에서 연속일 때
[eqn: d overdx int_a ^x f(t)dt=f(x)](단, [eqn: a<x<b])
임을 보이는 과정의 시작 부분이다. 나머지 과정을 모두 완성하시오. [5.0점]

[eqn: m cdotDELTA x le DELTAS le M cdotDELTAx]이다.

([eqn: m]과 [eqn: M]은 구간 [eqn: [x,```x+DELTAx ]]에서 [eqn: f(x)]의 최솟값과 최댓값)

[eqn: m le { DELTAS} over { DELTAx} le M]에서 [eqn: DELTAx ->0]을 취하면,

[eqn: m->f(x)], [eqn: M->f(x)]이므로

[eqn: lim_DELTAx->0 { DELTAS} over {DELTAx }=S`'(x)=f(x)]

함수 [eqn: f(t)]가 구간 [eqn: [a,```b]]에서 연속이고 [eqn: f(t) ge0]이라고 하자. 오른쪽 그림과 같이 구간 [eqn: [a,```b]]에 속하는 임의의 [eqn: x]에 대하여 구간 [eqn: [a,```x]]에서의 함수 [eqn: f(t)]의 정적분을 [eqn: S(x)]라고 하면 [eqn: S(x)=int_a^x f(t)dt]이다.

이때 [eqn: x]의 증분 [eqn: TRIANGLE x]([eqn: triangle x>0])에 대한 [eqn: S(x)]의 증분을 [eqn: triangle S]라고 하면

……

[2016년 대화고]

[2학년 1학기 기말 미적분1]

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